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Dedução das equações de Maxwell na forma diferencial

Entenda nesse artigo como se dá a dedução das equações de Maxwell na sua forma diferencial e confira algumas dicas sobre as definições nesse contexto.

     

As equações de Marwell, juntamente com a lei da força de Lorentz, são responsáveis por compor a base do eletromagnetismo clássico. O seu desenvolvimento e entendimento são considerados muito importantes para o processo de revolução lógica que aconteceu no século XIX e nos que vieram posteriormente. Ao observar toda a sua estrutura, é possível classificar várias subdivisões, sendo uma delas a forma diferencial.

A principal propriedade da forma diferencial é que todas as suas equações possuem uma estrutura algébrica natural, chamadas atualmente de álgebra exterior. Ela é responsável por definir a derivada exterior, que possui ligações diretas sobre todas as formas diferenciais para a criação de outras formas, mas de grau superior.

Dizemos que, as formas diferenciais, são capazes de substituir e generalizar os operadores de gradiente, rotacional e divergente dentro do cálculo vetorial clássico, encontrado no eletromagnetismo.

Entendimento das equações de Maxwell na sua forma diferencial

James Clerk Maxwell.
(Foto: Divulgação)

As equações de Maxwell se simplificam sempre que a linguagem das formas diferenciais e a geometria diferencial são utilizadas. Seus campos electros e magnéticos são descritos por uma 2-forma dentro de um espaço tempo quadrimensional, chamada de F. Dizemos que elas se reduzem a identidade de Bianchi, onde:

dF = 0

d * F = *J

d * J = 0

Sendo que:

» d: derivada exterior;

» F: 2-forma;

» J: 1-forma;

» *: estrela de Hodge.

Dicas

Abaixo veremos algumas das definições formais da área diferencial das equações de Maxwell:

» Todos os conjuntos das k-formas dentro do espaço vetorial tangente de um ponto x de uma variedade é chamado de Λkx;

» A k-forma diferencial ω é dita como fechada sempre o seu diferencial exterior for zero, dω = 0;

» A k-forma diferencial α é dita como exata quando existe outra (k-1)-forma β, sendo que a sua derivada exterior é precisamente α, α = dβ.

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